Quanto vale il coeff. di Poisson per il legno lamellare?

12.03.2009 | Nr.: 268

Risposta

Il materiale legno deve essere riguardato come un materiale non isotropo, ovvero le proprietà meccaniche del materiale (p.e. il modulo elastico), sono dipendenti dalla direzione considerata.

Questa affermazione vale sia per il legno massiccio, sia per il legno lamellare incollato, che è composto appunto da elementi in legno massiccio incollati tra loro.
Per questa ragione non è possibile individuare un unico coefficiente di Poisson, come avviene con i materiali isotropi; si ricorda che, per materiali a comportamento isotropo, si ha la seguente relazione fondamentale tra i moduli elastici: G = 0,5 ∙ E / (1+ν). 

Tuttavia le proprietà meccaniche, nel caso del legno, possono essere messe in stretta relazione con le direzioni anatomiche del materiale.

Partendo dal tronco, si può ragionevolmente pensare che sia composto da un certo numero di pareti cilindriche concentriche (gli anelli di accrescimento): con questo modello si può individuare una, pur approssimata, simmetria cilindrica, con asse coincidente con l’asse midollare. In questo modo si individuano tre direzioni anatomiche principali: quella longitudinale, parallela alla direzione del tronco; quella radiale, parallela alla direzione dei raggi dei “cerchi concentrici” rappresentati dagli anelli di accrescimento; quella tangenziale, parallela alla tangente dei “cerchi concentrici” rappresentati dagli anelli di accrescimento.

Tale considerazione implica, comunque, una prima semplificazione, cioè il riferimento ad un tronco cilindrico in luogo di un (pur sempre approssimato) tronco di cono.

Considerando invece un cubo di materiale sufficientemente piccolo ad una certa distanza dall’asse, e chiamate L, R, T le direzioni anatomiche rispettivamente longitudinale, radiale e trasversale, una ulteriore semplificazione può essere quella illustrata nella figura a lato, dove gli anelli di accrescimento (circonferenze) sono sostituiti da “strati” piani.

Evidentemente le semplificazioni così introdotte risultano tanto meno influenti quanto più l’elemento di legno è ricavato lontano (in rapporto alla sua dimensione trasversale) dall’asse midollare: gli errori introdotti nella modellazione saranno quindi massimi per tavole (o elementi) con la presenza del midollo, minimi per le cosiddette tavole “tangenziali” ricavate ad una certa distanza dal medesimo asse midollare (solitamente una trave in legno lamellare è per lo più composta da tavole tangenziali).

In questa ultima ipotesi il materiale legno, o meglio un elemento di legno privo di difetti, è localmente schematizzabile come materiale ortotropo rispetto ai tre piani sopra indicati, introducendo una semplificazione nella matrice di rigidezza che descrive il legame costitutivo del materiale. Infatti un materiale ortotropo può essere descritto da una matrice in cui figurano 9 costanti indipendenti, in luogo dei 21 parametri indipendenti del materiale anisotropo. Nella figura a lato si riporta la legge di Hooke generalizzata nel caso di materiale ortotropo con matrice di cedevolezza (inversa di quella di rigidezza), scritta utilizzando i cosiddetti “parametri ingegneristici” (moduli elastici e coefficienti di Poisson), in cui figurano 9 costanti indipendenti (si noti che non c’è uguaglianza tra i coefficienti di Poisson ottenuti per inversione dell’ordine dei pedici).

E’ evidente che la simmetria della matrice porge le seguenti uguaglianze:

ν_RL/E_L =  ν_LR/E_R ;  ν_LT/E_L =  ν_TL/E_T ;  ν_RT/E_R =  ν_TR/E_T ;

Dai valori riportati dalla letteratura la simmetria matriciale, controllata tramite valori ricavati da sperimentazione fisica, risulta abbastanza bene rispettata, sebbene i valori dei coefficienti di Poisson ν_RL e ν_TL , essendo molto piccoli e paragonabili all’errore di misura, siano anche di difficile riscontro sperimentale.

I valori dei coefficienti di Poisson non sembrano variare sensibilmente con la massa volumica ed altre caratteristiche anatomiche: valori sperimentali indicativi sono riportati nella tabella a lato per il legno di latifoglia e di conifera.

Questo non risulta vero per le costanti elastiche, che possono variare in funzione di molti parametri (umidità del legno, temperatura ecc.). Nonostante le molte variazioni tra i moduli, i seguenti rapporti possono ritenersi accettabili per la gran parte delle specie legnose (vedi Bodig e Jayne, 1982): 

E_L  : E_R  : E_T  ≈ 20 : 1,6 : 1

G_LR : G_LT  : G_RT  ≈ 10 : 9,4 : 1

E_L : G_LR  ≈ 14 : 1

I valori riportati per le caratteristiche meccaniche del legno possono consentire una ulteriore interessante ipotesi semplificativa, quella che permette il riferimento ad una unica direzione “trasversale”, confondendo le direzioni anatomiche trasversali R e T.

Come si può facilmente vedere, infatti, il riferimento ad una unica direzione ortogonale all’asse L può essere tollerabile a livello di applicazioni ingegneristiche. Con tale ulteriore semplificazione il materiale diviene quindi caratterizzato da due orientazioni, quella longitudinale (parallela alla fibratura), nel seguito identificata con il pedice 0, e quella ad essa ortogonale, con il pedice 90. Si perviene quindi ad un materiale caratterizzato, elasticamente, dai moduli di elasticità normali E₀ e E₉₀ e da quello tangenziale G. In mancanza di determinazioni specifiche, possono essere accettabili, sempre nel caso di legno di conifera, le assunzioni: G = E₀ / 16 e E₉₀ = E₀ / 30. Sempre con l’ipotesi di un'unica direzione trasversale il coefficiente di Poisson  ν, inteso come rapporto tra la deformazione trasversale e la deformazione longitudinale in un elemento sollecitato lungo la direzione longitudinale, può essere assunto, in accordo con i valori riportati in tabella, pari ad un valore compreso tra 0,37 e 0,42 nel caso delle conifere, tra 0,37 e 0,50 nel caso delle latifoglie.

In conclusione la conoscenza dei coefficienti di Poisson può essere necessaria nel caso in cui si esegua una modellazione del materiale che debba tenere in conto del comportamento non isotropo del materiale. Nelle più comuni applicazioni ingegneristiche nelle quali si lavora con aste rettilinee, dovendo per esempio determinare un carico critico di una colonna oppure la freccia di una trave, è naturalmente sufficiente la sola conoscenza del modulo elastico parallelo alle fibre (tuttalpiù anche il modulo di taglio per tenere conto delle deformazioni a taglio nelle travi alte).

Bibliografia
 

Bodig J., Jayne B. A. (1982), Mechanics of Wood and Wood Composites, Van Nostrand, New York

Kollmann F. P., Côté (1968, 1984), W. A., Principles of wood science and technology, Springer Verlag, Berlin

Piazza M., Tomasi R., Modena R. (2005), Strutture in legno - Materiale, calcolo e progetto secondo le nuove normative europee, Ulrico Hoepli Editore, Milano